cold days.. – 解析タネル

足して4になるもの.

足すなら, その逆に, 引いたり, 足さないで4になるものも考えたい. 実数みたいに, 滑らかな空間なら０と１の間にどれだけでも数を詰め込めるから, 無限にあると思う. 4とは何を表すのかと思う. ただの数ではないかも。。。

4をこんな点で表してしまったが…数えてみようか. いや, 一発でドカンと数えずに済ますには, 真ん中の空洞に着目するといいように思う. 試しにこの穴を「1」と書いてみよう. 残りは3だが…4の画数は3なのだった・・！

・・という妄想でした
トポロジーの変形からすれば, 画数を独立なpathの数に対応させて群を構成すれば, この4に別の意味を持たせることも可能.

もう先日だが, これまた小さな発見があった.

係数(環)を制限すれば向き付け可能性を気にせず, ポアンカレ双対が成り立つ！

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向き付け不可能なn次元ホモロジー多様体Mの単体分割|K|→Mを与える単体的複体をKとする. ホモロジー群が弧状連結成分の直和に分解できることを思えば, あらかじめMを弧状連結として一般性は失わない.

n単体に向きをつけ, それに導かれる向きを(n-1)鎖に指定する.
このときn鎖, (n-1)鎖を

$\begin{array}{lcl} C_n(K)\ni c &=& \sum_i^r \epsilon_i <\sigma_i^n> \\ C_{n-1}(K)\ni c' &=& \sum_i^{r'} \xi_i <\mu_i^{n-1}> \end{array}$

と書く. ホモロジー多様体の性質から, あるjを指定して, (n-1)次単体 $<\mu_j>$ を共通の辺単体に持つn次単体は二つである. 特にそれらのうち, 向きつけられないn単体の対を $<\sigma_{j_1}>, <\sigma_{j_2}>$ と書けば, 向きつけ不可能性から結合係数の積の関係式:

$[\sigma_{j_1}:\mu_j][\sigma_{j_2}:\mu_j]=1$

を得る( $\mu_j$ は仮定より各n単体の面であるから結合係数が0ではない). そこでこれらn単体の境界をとると,

$\begin{array}{lcl} && \partial(\epsilon_{j_1}<\sigma_{j_1}> + \epsilon_{j_2}<\sigma_{j_2}>) \\ &=& \epsilon_{j_1}({\rm sgn}(j)<\mu_j> + \theta_1) + \epsilon_{j_2}({\rm sgn}(j)<\mu_j> + \theta_2) \end{array}$

が成立している(ここに $\theta_k$ は $\epsilon_{j_k}$ の面を成す, $\mu_j$ 以外の(n-1)単体からなる(n-1)鎖である).
今係数が $Z_2$ であれば $1\equiv -1 (\mod{2}), 0\equiv 2 \equiv -2 (\mod{2})$ から, 恒等的に

${\rm sgn}(j)(\epsilon_{j_1}+\epsilon_{j_2})<\mu_j> = 0$

が成立する. 実際 $\theta_k (k=1,2)$ を他のn単体の辺単体とすることができ(ホモロジー多様体の性質), 向きつけ可能なn単体の境界とそうでないものに分けると, 前者に含まれるものは共有するn単体で境界同士が打ち消しあって0になり, 後者に含まれるものは $\epsilon_{j_k}$ と同様に結合係数が偶数になる. つまり $H_n(M;Z_2)=Z_n(M;Z_2)=C_n(M;Z_2)=\bigoplus_i^r Z_2<\sigma_i>$

次に双対におけるホモロジー群を見る.

重心細分Sd(K)の部分複体として, 双対分割

$K^*=\{\nabla(\tau) : \tau\in K\}$

を考える. ここに $\nabla(\tau)$ はKの単体 $\tau$ の双対.

$K^*$ の元(双対である)を作る際に元となった単体の次元(=qとしよう)を指定したものを $K^*_q$ と書くことにする.

すなわち

$K_{n-q}^*=\{\nabla(\tau) : \tau\in K, {\rm dim}\tau=q \}$

とおけば, この集合の元である双対をq次元双対と呼んで, Kのq次元双対全体の集合ができる. この記法は, q次元双対が実際には(n-q)次元複体であることを示すのに分かりやすい.

$K_{n-q}^*$ の生成する $C_{n-q}(Sd(K))$ の部分加群を $C^{\nabla}_{n-q}(K)$ と書き, 上記と同様

$\begin{array}{lcl} C^{\nabla}_{0}(K)\ni c^* &=& \sum_i^r \upsilon_i <\nabla(\sigma_i^n)> \\ C^{\nabla}_{1}(K)\ni c'^* &=& \sum_i^{r'} \eta_i <\nabla(\mu_i^{n-1})> \end{array}$

ととる. これらは双対鎖とは(定義から)異なるが, 加群として同型であることが示されるので, ここではもはや双対鎖と呼ぶ. そこで双対境界準同型 $\partial^\nabla_{n-q}:C^{\nabla}_{n-q}(K)\rightarrow C^{\nabla}_{n-q-1}(K)$ を,

$\partial^\nabla_{n-q}(<\nabla(\mu_i^q)>)= \sum_{\mu_i^q<\tau^{q+1}\in K} \zeta<\nabla(\tau^{q+1})>$

と定義する. これは $\mu_i^q$ を含むKの(q+1)単体の双対が生成する加群で, $\{\nabla(\tau)\in K_{n-q-1}^* : \mu_i^q \cap \nabla(\tau)\neq \emptyset \}$ を生成系と思える. あるいはlink complex(のようなもの)として $L(\mu_i^q)=\{\tau\in \nabla(\mu_i^q) : [\mu_i^q] \notin \tau \}$ ( $[\mu_i^q]$ は重心)を定義すれば,
$\partial^\nabla_{n-q}: C_{n-q}(\nabla(\mu_i^q))\rightarrow C_{n-q-1}(L(\mu_i^q))$ と考えることもできる(この場合双対境界準同型は始域を(各双対に)制限されたものとして考え, $\mu_i^q$ を含むKの(q+1)単体の個数と, $L(\mu_i^q)$ の(n-q-1)単体の個数は一致している. 更に別の解釈として, 結によってできる単体とその全ての辺単体を合わせた複体として $[\mu_i^q]*L(\mu_i^q)=\nabla(\mu_i^q)$ が成立しているが, Sd(K)の頂点 $[\mu_i^q]$ を切る作用として考えても良い).

最初の仮定から $\mu_j$ 上で取った双対鎖の境界をとると,

$\begin{array}{lcl} && \partial^\nabla_{1}(\eta_{j}<\nabla(\mu_j^{n-1})>) \\ &=& \sum_{\mu_j^{n-1}<\tau^n\in K} \upsilon<\nabla(\tau^n)> \end{array}$

となるが, 仮定より $\mu_j^{n-1}$ を共有するn単体はただ二つで, 上のように向きつけ不可能なものを取っておけば

$\begin{array}{lcl} && \partial^\nabla_{1}(\eta_{j}<\nabla(\mu_j^{n-1})>) \\ &=& \eta_{j}(\upsilon_{j_1} <\nabla(\sigma_{j_1}^n)> + \upsilon_{j_2} <\nabla(\sigma_{j_2}^n)>) \\ &=& {\rm sgn}(j)(<\nabla(\sigma_{j_1}^n)> + <\nabla(\sigma_{j_2}^n)>) \end{array}$