足して4になるもの.
足すなら, その逆に, 引いたり, 足さないで4になるものも考えたい. 実数みたいに, 滑らかな空間なら0と1の間にどれだけでも数を詰め込めるから, 無限にあると思う. 4とは何を表すのかと思う. ただの数ではないかも。。。
4をこんな点で表してしまったが…数えてみようか. いや, 一発でドカンと数えずに済ますには, 真ん中の空洞に着目するといいように思う. 試しにこの穴を「1」と書いてみよう. 残りは3だが…4の画数は3なのだった・・!
・・という妄想でしたw
トポロジーの変形からすれば, 画数を独立なpathの数に対応させて群を構成すれば, この4に別の意味を持たせることも可能.
もう先日だが, これまた小さな発見があった.
係数(環)を制限すれば向き付け可能性を気にせず, ポアンカレ双対が成り立つ!
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向き付け不可能なn次元ホモロジー多様体Mの単体分割|K|→Mを与える単体的複体をKとする. ホモロジー群が弧状連結成分の直和に分解できることを思えば, あらかじめMを弧状連結として一般性は失わない.
n単体に向きをつけ, それに導かれる向きを(n-1)鎖に指定する.
このときn鎖, (n-1)鎖を
と書く. ホモロジー多様体の性質から, あるjを指定して, (n-1)次単体を共通の辺単体に持つn次単体は二つである. 特にそれらのうち, 向きつけられないn単体の対を
と書けば, 向きつけ不可能性から結合係数の積の関係式:
を得る(は仮定より各n単体の面であるから結合係数が0ではない). そこでこれらn単体の境界をとると,
が成立している(ここには
の面を成す,
以外の(n-1)単体からなる(n-1)鎖である).
今係数がであれば
から, 恒等的に
が成立する. 実際を他のn単体の辺単体とすることができ(ホモロジー多様体の性質), 向きつけ可能なn単体の境界とそうでないものに分けると, 前者に含まれるものは共有するn単体で境界同士が打ち消しあって0になり, 後者に含まれるものは
と同様に結合係数が偶数になる. つまり
次に双対におけるホモロジー群を見る.
重心細分Sd(K)の部分複体として, 双対分割
を考える. ここにはKの単体
の双対.
の元(双対である)を作る際に元となった単体の次元(=qとしよう)を指定したものを
と書くことにする.
すなわち
とおけば, この集合の元である双対をq次元双対と呼んで, Kのq次元双対全体の集合ができる. この記法は, q次元双対が実際には(n-q)次元複体であることを示すのに分かりやすい.
の生成する
の部分加群を
と書き, 上記と同様
ととる. これらは双対鎖とは(定義から)異なるが, 加群として同型であることが示されるので, ここではもはや双対鎖と呼ぶ. そこで双対境界準同型を,
と定義する. これはを含むKの(q+1)単体の双対が生成する加群で,
を生成系と思える. あるいはlink complex(のようなもの)として
(
は重心)を定義すれば,
と考えることもできる(この場合双対境界準同型は始域を(各双対に)制限されたものとして考え,
を含むKの(q+1)単体の個数と,
の(n-q-1)単体の個数は一致している. 更に別の解釈として, 結によってできる単体とその全ての辺単体を合わせた複体として
が成立しているが, Sd(K)の頂点
を切る作用として考えても良い).
最初の仮定から上で取った双対鎖の境界をとると,
となるが, 仮定よりを共有するn単体はただ二つで, 上のように向きつけ不可能なものを取っておけば
ここで最後の等式は, 上
であることと, 結合係数の関係式
を考慮した書き方をしているが, 上記と同様の考察でこれらの和(一次元双対鎖の像)も
上0になる.
上は2次元ホモロジー多様体(の局所的な様子)を図示したもので, 双対境界準同型が1単体の重心(ピンクの球)を「切除」し, 既に決められた向き(それが同調してようとなかろうと)で2単体の重心(緑球)を打ち消しあうところ.
これでが分かるから, 結局
oh my..