PID:=A上の有限生成加群Mが平坦なときの構造を決定できるかと聞かれたんだ. つい先日ね.
そして後々よく考えてみたら凄く簡単なことだった. これは自由加群になるのだ.
構造定理から
は良い. 
はMのトーションだ.
トーションは同型
があるから, 基本的にトーション・フリーでない場合に矛盾が出ればよい. これはすごく簡単だ. 即答できなくて悔しい.
上の議論から, 基本的にMが次の構造: 
を持つと仮定して矛盾を出せば十分だ.
この場合, 単射
に対して, 単射
を構成できる(平坦). そこで
をn倍写像とすれば, 基本的にPIDは整数環と同型なので, n倍写像は単射だ. 上の形から, 双線形性によって行先の係数が
にかかって0になる. これは自明でなくとも0に写すから, 平坦性に反する.
やれやれだぜい.