応答

PID:=A上の有限生成加群Mが平坦なときの構造を決定できるかと聞かれたんだ. つい先日ね.

そして後々よく考えてみたら凄く簡単なことだった. これは自由加群になるのだ.
構造定理からM\cong A^n\oplus T(M)は良い. T(M)はMのトーションだ.

トーションは同型T(M)\cong \bigoplus_i^m Z/n_iZ\ (2\leq n_i\leq n_{i+1})があるから, 基本的にトーション・フリーでない場合に矛盾が出ればよい. これはすごく簡単だ. 即答できなくて悔しい.

上の議論から, 基本的にMが次の構造: M\cong A^n\oplus Z/nZ\ (n\geq 2)を持つと仮定して矛盾を出せば十分だ.

この場合, 単射\psi: N_1\hookrightarrow N_2\ (\forall N_1,N_2\in A-Mod)に対して, 単射\psi\otimes 1: N_1\otimes_A M\hookrightarrow N_2\otimes_A Mを構成できる(平坦). そこで\psiをn倍写像とすれば, 基本的にPIDは整数環と同型なので, n倍写像は単射だ. 上の形から, 双線形性によって行先の係数がZ/nZにかかって0になる. これは自明でなくとも0に写すから, 平坦性に反する.

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