英語で説明力向上させたい/総和の話

ブログを更新すれば他のソーシャルネットワークの記事も更新されるIFTTTというサービスを使い始めました。
他にOGP(Open Graph Protocol)なる方法があったものの、これは面倒でもういいわ!ってなったので、比較するまでもないほど設定がラクちん。

そういう事情でこの好き勝手書いてたブログも、閲覧者が国際的になる見通しがあって、今後2言語(日本語と英語)で発信したい、(実は英語で書く練習が要る)とは思ってるが、そこまで手が及ぶかな。

そしてテーマをいじって文字が大きいものにしてみた。
こっちの方が数式なども大分見やすいと思う。それを見たいという希有な人がいればだが・・。

最近はlatexで正規の数式を書くよりも、mathフォーラムなんかで直接コピー&ペーストできる略記の方を好んで使う(つまり\displaystyle{\sum_{m=0}^n c_mz^m}と書く代わりに ∑[m=0,n]c_m z^m) と書く)。

後は今日やっていた解析関連の問題とか調べたものの一部をざっとまとめた(途中)。

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バナッハ空間を調べる上で, コーシー条件を満たす点列とその収束性が「無条件で等価ではない」ということを調べるのは重要のようだ.

k∈K, (a_k)_(k∈K) (a_k∈C)に対し, Kの有限部分集合全体をFとする.

s∈Cがあって任意のε>0に対しf_0∈Fを選ぶことができる. このときF∋f⊃f_0なる全てのfについて |s-s_f|<εが成り立つことを, 族(a_k)_k∈Nが総和可能であるといい, sをその総和という. 総和可能とは, 無条件収束という概念の拡張であると考えられる.

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総和は存在すれば唯一つである.
実際s≠tなる総和があるとすれば, 仮定を満たすようなε>0とf∈F (s.t. f⊃f_0)に対して |s-s_f|<ε/2, |t-s_f|<ε/2とできるので, |s-t|≦|s-s_f|+|t-s_f|<εであってs≠tに矛盾が出る.

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また総和可能な族(a_k)の添字集合Kについて, K_0={k∈K|a_k≠0}は高々加算濃度を持つ.
これはちょっと分かりにくい問題だが, 証明すると次のようになる.
(P) まずK_0が無限濃度À(aleph)を持つとする. K_0から選んだ有限部分集合全体をF*とすると, K_0⊂KであってF*⊂Fである.

今任意にs∈Cを一つ定めて, あるε>0をとり, F*の濃度がÀなのでF*から有限部分集合系(f_λ)_λ∈Λを, 包含関係に関する増大列

f_0⊂f_1⊂…⊂f_λ⊂… (この包含関係は狭義単調増加).

を満たすように任意にとれるので, 各λに対しf_λ⊂g_λなるg_λを適当に定めることで最初に定めたsに拠らず

|s-s_(g_λ)|≧ε

が成立する. 実際 F*=Fp*∪Fm* (Fp*={f∈F*|a_k>0 (∀k∈f)}, Fm*={f∈F*|a_k<0 (∀k∈f)})と分割すれば, いずれか一方は無限濃度であるから, 上記において無限濃度である方適当に選んでF*の代わりにとる. このとき同様にして作った有限部分集合系(f_λ)_λ∈Λの各λに対し,

f_λ⊂g_λ⊂f_(λ+1) ⇒ s_(f_λ)≦s_(g_λ)<s_(f_(λ+1)) (あるいは符号を逆にしたもの)

が成立する. 実は最初のf_1⊃f_0を十分大きく(集合の包含関係的に)取ってやれば, 大きなε>0に対しても|s_(g_0)-s|≧|s_(g_0)|-|s|≧εを満たすようにg_0を取ることができ, 以降全てのg_λについて(その狭義単調性から)不等式を満たすのである.

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次の命題は杉浦さんの解析Iに載ってる問題. 自分の解答の方が泥臭いが直接的で分かりやすいだろう.

(a_n)_(n∈N)に対し, 次の(i), (ii), (iii)は互いに同値である.
(i) (a_n)_(n∈N)は総和可能
(ii) NからNへの任意の全単射n→k(n)に対し, 級数∑a_k(n)は収束し, 和はkに拠らない
(iii) ∑a_nは絶対収束する

【(i)→(ii)】
全単射kを一つとると, Nのある有限部分集合f∈Fが同等のk(f)∈Fに移る. 仮定からf_0∈Fを適当に選べば, s_(f_i)→s (f_0⊂f_1⊂…として n→∞)を満たすような有限部分集合族(f_i)が取れる. すなわちs_(f_i)はコーシー列である. このときkを施した収束する部分列s_k(f_i)を取ることができるので, kによらず級数∑a_k(n)は収束する.

【(ii)→(iii)】
∑(a_n+)=1/2∑(|a_n|+a_n)
∑(a_n-)=1/2∑(|a_n|-a_n)
とおけば, ∑|a_n|=∑(a_n+) + ∑(a_n-)である.

nが偶数のとき, a_k(n)≧0となるようなk(n)∈Nを, 小さい順にn+_0, n+_1,…と並べる.
nが奇数のとき, a_k(n)<0となるようなk(n)∈Nもまた, 小さい順にn-_0, n-_1,…と並べる.

このようにして定めたkは明らかにNからNへの全単射で, kの始域を偶数, 奇数に制限したものをそれぞれk+, k-とおけば, 上記記号のもと

(a_n+)=(a_k+(n)), (a_n-)=(a_k-(n))

が成り立つ. k+, k-はそれぞれ偶数, 奇数から偶数, 奇数への全単射であるから,

仮定によって∑|a_n|=∑(a_k+(n)) + ∑(a_k-(n))は収束する. kは任意なのでこれは∑a_nが絶対収束することを意味する.


続く

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