今日夕方、レストランに居たときの出来事。
隣のテーブルに座る、3才程の娘が大きな声で何か言ってるので気になって観て見ることにした。
娘は母親に向かってしきりに言う。
「口にものを入れたまましゃべらない!」
それはまるで、必死に懇願しているようだった。
母親はもう一人の娘と学校の話?をしている。
「口にものを入れたまましゃべらない!」
何度も大声で言われ、話の腰も折られて全く不愉快な母親は、「口にモノなんて入れてませーん!」と開き直り、一喝「うるさい!」
親の口癖を真似てるんだろうか, 注意するというよりは駄々をこねるように
「口にものを入れたまましゃべらない!」
…..
「case by case」ということを教えてくれる大人が彼女の周りに現れる様、お節介にも願っているのであった。
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さて、連日に渡って過去問に取り組んでいます。
忘れていたり、ぼんやりしていたところがあぶり出されて来ています。
2011数A [1]
V={p(x)=a+bx+cx^2|a,b,c∈R}, F(p(x))=(x+1)d[p(x)]/dx
(1)Fの表現行列を求める問題.
p(x)=a+bx+cx^2とすれば, たかだか2次の実係数多項式全体の標準基底(1,x,x^2)について,
からFの表現行列は
(2) の次元を求める問題.
列ベクトル基準でと記すと, 条件から
すなわち
直ちに
であって (但しe_1は(1,0,0)の転置)■
[1] I=[0,∞). 有界関数列がfに一様収束するという条件.
(1) fがI上有界であることの証明
有界性から任意のn∈NについてM/2>0が存在し, (但しは一様ノルム). 一様収束性からこのM/2について十分大きな自然数に対し, ならば
すなわち
\begin{array}{lcl}
|a_n-a_m| &=& \lim_{x\rightarrow \infty} |f_n(x)-f_m(x)| \\
&<& \lim_{x\rightarrow \infty} \big\{ |f_n(x)-f(x)|+|f(x)-f_m(x)| \big\} \\ &<& 2\epsilon \quad (\forall x\in I) \end{array}
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[εは任意であるから{a_n}はコーシー列である■ (3) (2)と同じ条件で$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=A$なら$\lim_{x\rightarrow \infty}f(x)=A$であることの証明. 一様収束性が, 関数列の各パラメータの極限を取る操作を交換可能にする十分条件となることを示す. 一様収束性と収束性から, 中辺第一項はnについて, 第二項はxについて十分大きな値を選んでおけば, 任意のε>0について\] *** Error message: Unicode character ε (U+03B5) leading text: \[ε Unicode character は (U+306F) leading text: \[εは Unicode character 任 (U+4EFB) leading text: \[εは任 Unicode character 意 (U+610F) leading text: \[εは任意 Unicode character で (U+3067) leading text: \[εは任意で Unicode character あ (U+3042) leading text: \[εは任意であ Unicode character る (U+308B) leading text: \[εは任意である Unicode character か (U+304B) leading text: \[εは任意であるか Unicode character ら (U+3089) leading text: \[εは任意であるから Unicode character は (U+306F) leading text: \[εは任意であるから{a_n}は Unicode character コ (U+30B3) leading text: \[εは任意であるから{a_n}はコ Unicode character ー (U+30FC)
|f(x)-a_n|<|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-a_n|<\epsilon/2
|f(x)-A|<|f(x)-a_n|+|a_n-A|<\epsilon
G(f)=\big\{ (x,(f(x)))| x\in X\big\} \subset X\times Y
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[と定義する. (1) fが連続, YがHausdorffならG(f)は積位相について閉集合であることの証明. 直積空間X×Yからグラフを除いた集合$\bar{G}=X×Y-G(f)$が積位相について開集合であることを示す. 任意に$(x,y)\in \bar{G}$をとれば, y≠f(x)であって, Yの開近傍$y\in U_y, f(x)\in U_{y'}$で$U_y \cap U_{y'}=\emptyset$となるものが取れる(Hausdorffの公理). $f(x)\in U_{y'}\subset f(X)$であることとfが連続であることから, $V_1=f^{-1}(U_{y'})\subset X$となるXの開集合が存在する. $V_1\times U_y$は構成の仕方から(x,y)を含むX×Y上の開集合であるが, $(x,y)\in \bar{G}$であるから\] *** Error message: Unicode character と (U+3068) leading text: \[と Unicode character 定 (U+5B9A) leading text: \[と定 Unicode character 義 (U+7FA9) leading text: \[と定義 Unicode character す (U+3059) leading text: \[と定義す Unicode character る (U+308B) leading text: \[と定義する Unicode character が (U+304C) leading text: \[と定義する. (1) fが Unicode character 連 (U+9023) leading text: \[と定義する. (1) fが連 Unicode character 続 (U+7D9A) leading text: \[と定義する. (1) fが連続 Unicode character が (U+304C) leading text: \[と定義する. (1) fが連続, Yが Unicode character な (U+306A) leading text: ...する. (1) fが連続, YがHausdorffな Unicode character ら (U+3089) leading text: ...る. (1) fが連続, YがHausdorffなら
V_1\times U_y \subset \bar{G}
f(z)=\frac{1-e^{iz}}{z^2} \quad (z\in \mathbb{C}, z\neq 0)
\begin{array}{lcl} |\int_{C_r}fdz| &\leq & |r^{-1}\int_0^\pi \frac{1-e^{iz}}{e^{it}}dt| \\ & \leq & |r^{-1}[e^{-it}]^\pi_0| + r^{-1}\int_0^\pi |e^{-it}|dt \\ & \leq & \frac{2+\pi}{r} \rightarrow 0 \quad (r\rightarrow \infty) \end{array}
\begin{array}{lcl} \int_{C_r}fdz & = & \int_{C_r}z^{-2}dz-\int_{C_r}\frac{e^{iz}}{z^{-2}}dz \\ &=& \int_{C_r}z^{-2}dz-\sum_{n=0}^\infty \frac{i^n}{n!} \int_{C_r}{z^{n-2}}dz \\ &=& \int_{C_r}z^{-2}dz-\int_{C_r}z^{-2}dz-i\int_{C_r}z^{-1}dz – \int_{C_r} g(z) dz \end{array}
\begin{array}{lcl} \int_{C_r}fdz & = & -i\int_{C_r}z^{-1}dz – \int_{C_r} g(z) dz \\ &\sim& \pi + 2M\pi r \rightarrow \pi \quad (r\rightarrow +0) \end{array}
\begin{array}{lcl} \int_0^\infty \frac{1-cosx}{x^2}dx &=& 2^{-1}\int_0^\infty x^{-2}(2-e^{ix}-e^{-ix})dx \\ &=& 2^{-1}\int_0^\infty \{ \frac{1-e^{ix}}{x^2} + \frac{1-e^{-ix}}{x^2}\} dx \\ &=& 2^{-1} \{ \int_0^\infty \frac{1-e^{ix}}{x^2}dx + \int_{-\infty}^0 \frac{1-e^{ix}}{x^2}dx \} \end{array}
0 = \sum_{i=1}^4 \int_{C_i}f(z)dz = -\pi + \int_0^\infty \frac{1-e^{ix}}{x^2}dx + \int_{-\infty}^0 \frac{1-e^{ix}}{x^2}dx
\int_0^\infty \frac{1-cosx}{x^2}dx = \frac{\pi}{2} \quad \blacksquare
M=\big\{ w\in R^n| \forall v\in L, (v,w)\in Z \big\}
(v_i,w_j)=\delta_{ij}
Vw_j=e_j
w_j=V^{-1}e_j
(v,w)=\sum_{i,j}^n s_it_j(v_i,w_j)=\sum_i^ns_it_j\in Z
\phi:M\rightarrow Z^n; \phi(w_j)=e_j
(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i})_p=\sum_{j=1}^n \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i}(p)(\frac{\partial}{\partial x^j})_p
*** QuickLaTeX cannot compile formula: \[$(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i})_p$は接ベクトルであるからpの近傍上定義される$C^\infty$級実数値関数全体を$\mathfrak{F}_p$とすれば, $(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i})_p:\mathfrak{F}_p\rightarrow R$である. pの${\bf x}, {\bf \bar{x}}$に対応する座標近傍を$(U,\phi), (V,\psi)$とするとき, $U\cap V$上定義される$C^\infty$級実数値関数をVの関数と考え, その一つをgとする. ${\rm Im}\phi|U\capV$と${\rm Im}\psi|U\capV$は微分同相であるから, 微分同相$\phi \circ \psi^{-1}=F:{\rm Im}\psi \rightarrow {\rm Im}\phi$が存在し, 局所座標間の変換式を得る: <img src="https://blog.icefog.work/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-de07934faca4ca3274ae3615ae294b6c_l3.png" height="25" width="423" class="ql-img-picture quicklatex-auto-format" alt="Rendered by QuickLaTeX.com" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> この変換式によって, gを\] *** Error message: Display math should end with $$. leading text: \[$( Missing $ inserted. leading text: \[$(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i} Missing $ inserted. leading text: \[$(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i} Missing $ inserted. leading text: \[$(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i} Extra }, or forgotten $. leading text: \[$(\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i} Unicode character は (U+306F) leading text: ...\frac{\partial}{\partial \bar{x}^i})_p$は Unicode character 接 (U+63A5) leading text: ...ac{\partial}{\partial \bar{x}^i})_p$は接 Unicode character ベ (U+30D9) leading text: ...\partial}{\partial \bar{x}^i})_p$は接ベ Unicode character ク (U+30AF) leading text: ...rtial}{\partial \bar{x}^i})_p$は接ベク Unicode character ト (U+30C8) leading text: ...al}{\partial \bar{x}^i})_p$は接ベクト
g=G_V(\bar{x}^1(p),\ldots,\bar{x}^n(p))=G_U(F^1(\bar{x}(p)),\ldots,F^n(\bar{x}(p)))
\begin{array}{lcl} (\frac{\partial g}{\partial \bar{x}^i})_p &=& (\frac{\partial G_U(F^1(v),\ldots,F^n(v))}{\partial v^i})_{v^i=\bar{x}^i(p)} \\ &=& \sum_{j=1}^n \frac{\partial G_U}{\partial u^j} ({\bf x}(p)=F({\bf \bar{x}}(p))) \cdot (\frac{\partial F^j}{\partial v^i})_{v^i=\bar{x}^i(p)} \\ &=& \sum_{j=1}^n \frac{\partial g}{\partial x^j}(p) \frac{\partial x^j}{\partial \bar{x}^i}(p) \end{array} ※2段目は座標近傍(とそこの局所座標系)が与えられ, そこでの一点pと座標系との対応(これは定義から微分同相である)によって明示的に局所座標(⊂R^n)における微分が行われている. 一方3段目では, xを座標u(あるいはを座標v)と同一視し, 多様体M上における微分に直されている.