新年明けました

集合論再考の順序数の計算部を修正。

新年明けて初記事であります!

センター試験が昨日で終わって、問題が上がっていました。
それぞれ予備校が速報を出していて、駆り出される人は大変ですね。

自分はというと、II/Bの大問1と2だけ解いてみました(残りは時間の関係で解いてない)。個人的な所感という程の内容はないですが、少しだけ触れておくことにします。

[1] 三角関数
標準~

基本的な三角関数の関係式と加法定理、周期性、それに三平方の定理を知っていれば解けるは解ける。こういう問題は計算間違えて確かめて時間足りなくなる失敗が多い。問題数は多めかな?

[2] 指数関数
難しくはない。

分数指数の演算が出るので指数法則に慣れていないとタイムイーターに。
(x-y)^2からはじめて相加相乗平均の関係式を証明したことがあれば、x=yがx+yが最小値をとる必要十分条件になることが分かると思います。受験生はこれで点を稼ぐだろうと思う。

近況は、「佐藤幹夫の数学」という本を借りて少し読んでみて、非常におもしろいところで止めました、時間がなくて。佐藤超関数をコホモロジーを経由して定義するところも少し見ました。かなり凄いことをやっているようです。

そういう面白いものにはいつも関数論の知識がもっと欲しいと思う、これは確率論の本をぱらぱらみていても同じことなんですが。
そうしたことと、昨年末に怪我をしてからあまり自由にサッカーなどできなくなったのも助けて、ここ数週間伊藤清三と谷島賢二のルベーグ積分の入門書に目を通してます。

読んでいて思った素朴な疑問ですが、連続濃度の集合(つまり実数R)を添字として持つ集合族を考えるべきでない一番の理由というのは、やはり公理論的集合論に影響するからですか。

ちょっと考えてみると、点列を一点集合族と見なしたようなもっとも単純なものでも、その和\cup_R \{a_n\}の直和分解として

  • 可算濃度を持つ集合
  • 連続濃度を持つ零集合
  • 連続濃度を持つルベーグ測度が正である集合
  • 可算濃度でも連続濃度でもない集合

が取れる。R上のルベーグ測度を考える場合、(iv)は連続体公理の前では空集合ですが、それを仮定しないとその測度はどうしようという話になる。可算集合族に関する加法性のみを考える決定的な理由はこういうとこでしょうか。

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