連続

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位相空間の間の写像の連続性についての厳密な言い換え.

(S,\mathfrak{D}),\ (S',\mathfrak{D}')を位相空間, f:S\rightarrow S'を写像とする. また記号\mathfrak{D}を開集合系, \mathfrak{U}を閉集合系, {\bf V}(x)をxの近傍系, {\bf V}^*(x)をxの基本近傍系, 及び\mathfrak{B}を\mathfrak{D}の準基底として使う.

以下は同値.

(i) fは連続
(ii) \forall O'\in \mathfrak{D}',\ f^{-1}(O')\in \mathfrak{D}
(iii) \forall A'\in \mathfrak{U}',\ f^{-1}(A')\in \mathfrak{U}
(iv) \forall O'\in \mathfrak{D}',\ \forall x\in f^{-1}(O'),\ \exists V\in {\bf V}_S(x),\ f(V)\subset O'
(v) \forall x\in S,\ \forall V'\in {\bf V}_S'(x')\ (x'=f(x)),\ f^{-1}(V')\in {\bf V}_S(x)
(vi) \forall x\in S,\ \forall V'\in {\bf V}^*_S'(x')\ (x'=f(x)),\ f^{-1}(V')\in {\bf V}_S(x)
(vii) \forall O'\in \mathfrak{B}',\ f^{-1}(O')\in \mathfrak{D}
(viii) f(\overline{M})\subset \overline{f(M)}\ (\forall M\subset S)

上で(vii)は(ii)の, (vi)は(v)の条件を緩めたものになっていて, 応用性が高い.

証明は略.