ホモロジー多様体 (Homology Manifold) I

先日プライベート・チェアという(ロッキング・チェアみたいに揺れる)、それなりにいい値段のする椅子を購入し、早く届かないかと心待ちにしている。初のチェスト(足置き)付きで、座った感じだと疲れを回復しながら眠ることもでき、一日本を読んでられそうな座り心地の良さだった。

一人暮らしで狭いので、少し仮眠を取りたいときにも重宝するだろうし、勉強もはかどり、椅子としての機能も果たし、色々な問題が解決しそうで、期待大！

今回は多様体論と位相幾何の復習。

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多様体というとホモロジー多様体、組み合わせ多様体、代数多様体、位相多様体等色々なものがあるが、ホモロジー多様体と位相多様体との関連が興味深い。

n次元C^r級位相多様体Mは, 任意の点p∈Mに対して座標近傍 $(U,\phi)_p$ で $R^n$ と同相なものが存在し, それはn次元開球 $(D^n)^\circ$ と同相なので局所ユークリッド的である. またpはUの内点と仮定していいので, n=2の場合で言えば, pの周りのまつわり複体 ${\rm L}_K(p)$ は次の二つの場合に限られる（赤線）.

これら（赤線のまつわり複体を多面体と見たもの）はpを中心とした縮小と拡大について $S^{1}=S^{n-1}$ にホモトピー同型で, したがって ${\rm L}_K(p)$ と $S^{n-1}$ はホモロジー同型(これは実は一般のnについて成立する; I. Tamura, Topology, p.186).
4次元以上では単体分割不可能な位相多様体が存在するので, 一般の議論はできないが, 先の位相多様体Mが単体分割可能であればn次元ホモロジー多様体になる(各々の座標近傍は $R^n$ と同相で単体分割可能であり, その有限被覆で構成される場合, すなわちコンパクト位相多様体であれば上の議論でホモロジー多様体となることが結論できるはずだが, 可算無限個の場合等は一般には恐らく言えない).

命題: σコンパクトなC^r級多様体Mにk個の互いに交わらない空でない閉集合 $\{A_i\}_{1\leq i\leq k}$ が与えられてる. また, k個の実数 $\{a_i\}_{1\leq i\leq k}$ が与えられてるとする. このとき, M上のC^r級関数f:M→Rで, 各々の閉集合A_i上では値a_iをとるようなものが存在する.

証明: σコンパクトな多様体の性質から, 1の分割定理によって局所有限でかつMの任意の被覆の細分であるようなものが存在する.
閉集合族 $\{A_i\}_{1\leq i\leq k}$ の補集合族 $\{M-A_i\}_{1\leq i\leq k}=\{U_i\}_{1\leq i\leq k}$ はMの位相における開集合族で, Mの有限被覆である. このとき局所有限で有限開被覆 $\{U_i\}_{1\leq i\leq k}$ の細分となるようなものとして, $\{U_i\}_{1\leq i\leq k}$ に従属する1の分割 $\{f_i\}_{1\leq i\leq k}$ の台の列が取れる. 即ちこの1の分割 $\{f_i\}_{1\leq i\leq k}$ について, 次の3条件が成り立つ.

$\begin{array}{ll} {\rm (i)} & 0\leq f_i \leq 1 \\ {\rm (ii)} & {\rm supp}(f_i) \subset U_i \qquad (1\leq i\leq k) \\ {\rm (iii)} & \sum_{i=1}^k f_i=1 \\ \end{array}$

添字iを一つ固定した時, 条件(ii), (iii)から, A_i上で $\displaystyle{\sum_{j\neq i}^k f_j}$ は恒等的に1に等しい. 従って

$g_i=a_i\sum_{j\neq i}^k f_j \qquad (1\leq i\leq k)$

と定義すれば, 関数列 $\{g_i \}_{1\leq i\leq k}$ で, 各閉集合A_i上値a_iを取るようなものができる■

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眠くなったので次回・・・zzz