Reversible Ring I – icefog BLOG

最近は, ホモロジー代数でも構成の正しさを調べる手段が重要なことが多く, 特に代数的構成は詳しく知っておきたい.

命題：直和の構成とテンソル積の構成は可換である
証明：同型 $(\bigoplus_i M_i)\bigotimes N\simeq \bigoplus_i M_i\bigotimes N$ を示せばOK.

Balanced map $f$ を $f(\sum_i m_ir_i,n)=\sum_i m_ir_i\bigotimes n$ と規定すれば, $f$ が自然なバランス写像 $\tau$ に対し引き起こす写像 $g$ で, 次の図式を可換にするものが一意的に定まる.

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実際任意の $y\in (\bigoplus_i M_i)\bigotimes N$ に対し, $f\circ \tau^{-1}(y)=g(y)$ は一意的に定まる.

更に, Balanced map $\bar{f}_i:M_i\times N\rightarrow (\bigoplus_i M_i)\times N$ が引き起こす準同型 $g'_i:M_i\bigotimes N \rightarrow (\bigoplus_i M_i)\times N$ についても同様のことが成り立つ. $g'=\bigoplus_i g'_i: \bigoplus_i M_i\bigotimes N \rightarrow (\bigoplus_i M_i)\bigotimes N$ として一意性と普遍性を保ったまま拡張することができるので, 可換図式

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を得る( $\bigoplus_i M_i\times N=(\bigoplus_i M_i)\times N$ は直積と直和の可換性から).

このときBalanced mapの与え方は任意であったので,

$f=g\circ \tau, \qquad \bar{f}=g'\circ \bar{\tau}, \qquad \tau=\bar{f},\qquad \bar{\tau}=f$

とおけて, $f=g\circ g'\circ f, \quad \bar{f}=g'\circ g\circ \bar{f}$ と一意性から,

$g\circ g'=Id_{\bigoplus_i M_i\bigotimes N},\qquad g'\circ g=Id_{(\bigoplus_i M_i)\bigotimes N}$

が同型を与える■

命題: 有限生成射影的左R加群Mと, 任意の左R加群Nに対し,

$\hat{M}\otimes_RN\simeq Hom_R(M,N)$

が成立する.

証明: $\hat{M}\otimes_RN\ni \epsilon\otimes y\mapsto (x\mapsto \epsilon(x)y)\in Hom_R(M,N)$ が同型対応であることを見たい.

まず左R加群Mの双対加群 $\hat{M}=Hom_R(M,R)$ は, 右R作用 $(\epsilon a)(x)\mapsto \epsilon(ax)$ により, 右R加群の構造をもつ.

Mが有限射影的であるから, 自由加群Fの直和因子であって $F=M\oplus M'$ . さらにAbel群の双対性によって, $\hat{F}=\hat{M}\oplus \hat{M'}$ が成立している.
∵ $\lambda:x\mapsto \lambda_1\circ pr_1(x)+\lambda_2\circ pr_2(x)$ が全単射であることから分かる.

また一般に, 右R自由加群と左R加群とのテンソル積は, 自由加群の階数rに対し, 左R加群のr冪に同型( $\bigoplus_{i\in I}(x_iR) \otimes N \simeq N^{\bigoplus I}$ )で, 自由加群はその双対と同型である(基底の準同型を考える必要がある).

これらのことを合わせると, 次の等式が成り立つ.

$\begin{array}{lcl} \hat{F}\otimes_R N & \simeq$ & N^n \quad (n={\rm rank}\hat{F}) \\ &\simeq & Hom_R(F,N) \quad ((x_1,\ldots,x_n)\mapsto (pr_{x_1},\ldots,pr_{x_n})) \\ &\simeq & Hom_R(M,N) \oplus Hom_R(M',N) \end{array}$

さらに次の図式も可換になる.

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以上から同型 $\hat{M}\otimes_RN\simeq Hom_R(M,N)$ が得られた■