可換環3 – 解析タネル

写像の文脈では, 著者によって「写す」と「移す」という異なる表記があるらしい. 前者はmapの和訳通り, 「ある集合の元をある集合の唯一つの元に移すもの」, つまり「写像主体」になっていることを強調する表現で, 後者は元そのものが移動する, あるいは移動させるというニュアンスから, 元の集合(domain)と行き先の集合(codomain)に初めから何らかの関係があり, その関係を記述するものが写像である, という「集合主体」の表現であると解釈できなくもない.

最近順系の普遍性がよく分かってきた. その経緯で関連した命題を記しておく.

命題2.8.2: Bが平坦A-代数でかつNが平坦B-加群ならば, NはA-加群として平坦である.
証明: A加群の完全列 $0\rightarrow Q_1\rightarrow Q_2$ をとる. このときBは平坦A加群として関手 $T_B(Q_i)=Q_i\otimes_A B$ で写される完全列

$0 \rightarrow Q_1\otimes_A B\rightarrow Q_2\otimes_A B$

を引き起こす(右完全性は左随伴関手としての $T_B$ の性質により従う). $Q_i \otimes_A B$ は写像 $(b,q\otimes y)\mapsto q\otimes by\ (b,\ y\in B,\ \ q\in Q_i)$ によりB-加群と見れる. このとき平坦B-加群Nの性質から関手 $T'_{Q_i\otimes_A B}$ でB-加群としての完全列

$0 \rightarrow Q_1\otimes_A (B \otimes_B N) \rightarrow Q_2\otimes_A (B \otimes_B N)$

が誘導される. 同型 $Q_1\otimes_A (B \otimes_B N)\cong Q_1\otimes_A N$ によってNのA-平坦性が出る((A,B)-複加群としてのNの性質から, 自然な同型 $Q_1\otimes_A (B \otimes_B N) \cong (Q_1\otimes_A B) \otimes_B N$ を使っている)　■

命題2.10: Aを可換環, aをAのイデアルで $a\subset rad(A)$ を満たすものとする(rad(A)はAのJacobson根基). MをA-加群, Nを有限生成A-加群とし, $u:M\rightarrow N$ をA-凖同型写像とする. このとき誘導された凖同型 $M/aM\rightarrow N/aN$ が全射ならuも全射である.
証明: NのA上の生成元を $\nu_1,\ldots,\nu_n$ とする. $\mu:M/aM\rightarrow N/aN$ が全射であれば, 各生成元 $\nu_i$ に対し, Mの元で, $\nu_i$ の $N/aN$ における像に写すような $m_i\in M$ が少なくとも一つ存在する. 正確には $\mu(M)\subseteq N$ より $\mu(m_i+aM)=\mu(m_i)+a\mu(M)\subseteq \nu_i+aN$ .

そこで

$\begin{array}{lcl} \mu(m_i)&=& \nu_i + \sum_j c_{ij}\nu_j \\ &=& \sum_j (\delta_{ij} + c_{ij})\nu_j \\ &=&(c_{i1},\ldots,c_{ii}+1,\ldots,c_{in}) {}^t(\nu_1,\ldots,\nu_n) \end{array}$

より, ${}^t (\mu(m_1),\ldots,\mu(m_n))={\bf \omega},\ {}^t(\nu_1,\ldots,\nu_n)=\nu$ と書くことにすれば,

${\bf \omega} = \overline{C} \nu\ \cdots \ (e)$

とかける. ここで $\overline{C}$ は行列 $C=(c_{ij})$ に対し $\overline{C}=C+E$ で定義されるNの自己凖同型環 ${\rm End}_A(N)$ 上の行列と見る.
$\overline{C}$ の行列式dは $\det{(C+E)}=(-1)^n\det{((-E)-C)}$ から分かるように, Cの特性方程式に-1を代入したものを $(-1)^n$ 倍したもので, $\det{\overline{C}}=d=1+r\ (r\in a)$ の形である. $\overline{C}$ の余因子行列 $(b_{ji})$ を(e)の両辺にかけると, $d \nu_i=(1+r)\nu_i=\sum_i b_{ij}\mu(m_i)$ を得る. $b_{ij}$ は $\overline{C}$ の要素の(n-1)次多項式であるから勿論Aの元. $r\in rad(A)$ であるから $1+r\in A^\times$ で,

$\nu_i = d^{-1}\sum_i b_{ij}\mu(m_i)$

がMからNへの全射を与えている　■

命題13. $f:A\rightarrow B$ を環凖同型, NをB加群. $ay=f(a)y\ (a\in A,\ y\in N)$ によってNをA-加群とみてB-加群 $N_B=B\otimes_A N$ をつくる. このときyを $1\otimes y$ に写す凖同型写像 $g:N\rightarrow N_B$ は単射であること, またg(N)は $N_B$ の直和因子であることを示せ.
証明. gの単射性: gはA加群の凖同型であるから, $g(y)=0\Rightarrow y=0$ を言えば良い. 実際 $1\otimes y=0$ なら単元 $a\in A$ が存在してay=0より直ちにy=0. なお, ここで単元の存在を言うのは, 0でないyに対してyを零化するAの元の存在を否定できないから. 単元がそのような元である心配はない.
また, $p:N_B\rightarrow N; p(b\otimes y)=by$ は明らかに全射である.

このB-加群の列は完全で, pの右逆凖同型, つまりpの分解B-凖同型としてgをとれる. 実際

で $p\circ g=Id_N$ である. 故に $N_B$ は分裂し, $N_B\cong Im(\nu)\oplus Im(g)\cong Ker(p)\oplus Im(g)$ 　■

命題. 有向集合Iを固定し, この上のA-加群の順系 ${\bf M}=(M_i,\mu_{ij}),\ {\bf N}=(N_i, \nu_{ij})$ を考える. 各順系の順極限を $M=\lim_\rightarrow M_i,\ N=\lim_\rightarrow N_i$ , 対応する準同型を $\mu_i:M_i\rightarrow M,\ \nu_i:N_i\rightarrow N$ とする.

準同型 $\psi_i:M_i\rightarrow N_i$ が図式

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を可換にするとき, 図式(*)

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を可換にする準同型 $\psi:M\rightarrow N$ が一意的に定義される.

証明. 示すべきことは次の三つである.

(i) $\psi$ が写像としてwell-definedであること
(ii) $\psi$ が存在すること(手順を与えて構成できる)
(iii) (*)を可換にするような写像として, $\psi$ が一意的であること

(i)は(ii), (iii)を示せば明らかであるから, (ii)をまず示す.
加群の直和 $\bigoplus M_i=C,\ \bigoplus N_i=D$ に対し, 写像

$\psi':C\rightarrow D$

は任意の $x_i\in M_i$ を $\psi_i$ で $N_i$ に写す写像として自然に定義され, $\psi'|_{M_i}=\psi_i$ である. これは明らかにA-加群の性質を保存する.

このとき(*)の可換性を使えば, 図式

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を可換にする $\psi$ として定義できる.

具体的には $i\leq j\ (i,\ j\in I)$ に対し $x=\sum_{i\in J_1} x_i \in C,\ z=\sum_{i\in J_2} z_i-\mu_{ij}(z_i)$ をとり, 次の等式を得る( $J_q\ (q=1,2)$ はIの部分集合).

$\begin{array}{lcl} (\nu\circ \psi')(x+y) &=& \nu\Big( \sum_{i\in J_1} \psi_i(x_i)+ \sum_{i\in J_2} \psi_i(z_i)-(\psi_j\circ \mu_{ij})(z_i) \Big) \\ &=& \nu\Big ( \sum_{i\in J_1} \psi_i(x_i)+ \sum_{i\in J_2} \psi_i(z_i)-(\nu_{ij}\circ \psi_i)(z_i) \Big) \\ &=& \sum_{i\in J_1} (\nu_i\circ \psi_i)(x_i)\ \ldots \ (*2) \end{array}$

$\begin{array}{lcl} (\psi\circ \mu)(x+y) &=& \psi\Big( \sum_{i\in J_1} \mu_i(x_i) \Big) \\ &=& \sum_{i\in J_1} (\psi\circ \mu_i)(x_i)\ \ldots \ (*3) \end{array}$

(*2)=(*3)のとき, $\psi\circ \mu_i=\nu_i\circ \psi_i$ を満たす準同型 $\psi$ を

$\psi(x)=\nu(\psi_i(x_i))$

と定義できる. 但しこの $x_i$ は, $\mu_i(x_i)=x\in M$ を満たすような $i\in I,\ x_i\in M_i$ が必ず存在するので, そのようなもので任意の一つを取る. 二つの異なる有向集合の元 $i\neq j$ で $\mu_i(x_i)=\mu_j(x_j)=x$ を満たすものに対し, (*2)=(*3)によって値 $\psi(x)$ は一意的に定まることがわかる. これで(ii), (iii)が示された.　■

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