カフェインの取りすぎに注意

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（濃い目の）コーヒーを一日３杯飲んだら、熱くないのに汗をかき、異様な脱力状態に陥ったという・・・

以下検定で時間が足りなかった問題.

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R^2上の原点を中心とする単位円周上に異なる２点Ａ，Ｂを線分ＡＢがＯを通らないよう定める.
２点Ａ，Ｂにおける接線の交点Ｃの座標をＡとＢの座標Ａ(a,b), Ｂ(u,v)を用いて表すと,

異なる表示：

    \[\begin{array}{l} C_1(\frac{v-b}{av-bu},\frac{a-u}{av-bu}) \\ C_2(\frac{a+u}{1+au+bv},\frac{b+v}{1+au+bv}) \end{array}\]

を得た. これらは正しいか？
正しいならＣの見かけ上の表示が異なっても良い理由を, 正しくないならその理由を説明せよ.

説明：

Ａは単位円周上を動くから, ｘ軸からのＡの極座標における偏角をθと書くとき

A(a,b)=A(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\ (\theta\in [0,2\pi))

と書ける. また, ＢをＡから正の向きに角φ回転させた点と見れば,

    \[\begin{array}{lcl} B(u,v) &=& \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \\ \end{pmatrix}A(\theta) \\ &=& (\cos(\theta+\phi),\sin(\theta+\phi)) = B(\theta,\phi) \ \phi\in(0,\pi) \end{array}\]

と書ける. 点Ｃ(x,y)に関する条件から,

    \[\begin{array}{lcl} && \vec{AC}\perp A(\theta),\ \vec{BC}\perp B \\ &\therefore & (C-A(\theta))\cdot A(\theta) = (C-B(\theta,\phi))\cdot B(\theta,\phi) = 0 \\ &\therefore & A(\theta)^2=1=C\cdot A(\theta)=C\cdot B(\theta,\phi) \\ &\therefore & \left\{ \begin{array}{l} x\cos\theta + y\sin\theta - 1 = 0 \\ x\cos(\theta+\phi) + y\sin(\theta+\phi) - 1 =0 \end{array} \cdots (1) \right. \end{array}\]

(1)の左辺を４変数写像ｈと見做して空間Ｍを

M=\{(x,y,\theta\phi)\in R^2\backslash D^2\times [0,2\pi]\times (0,\pi)=U | h=0 \}

と定義する.

ｈは明らかにC^\infty級で, Ｕの接ベクトル空間からｈ(Ｕ)の接ベクトル空間への線型写像として

    \[(dh)_{p\in M}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & -x\sin\theta+y\cos\theta & 0 \\ \cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) & * & * \end{pmatrix}\]

は\cos\theta\sin(\theta+\phi)-\sin\theta\cos(\theta+\phi)=0 \Leftrightarrow \phi\equiv 0 \mod \piにより全射(特に臨界点が無いからsubmersionである).

つまり{\rm rank}(dh)_{p\in M}=2であり, Ｍは２次元多様体.
このことからＣ(x, y)はＭ上(θ,φ)について解ける.

実際ｈ=0を解いて

    \[\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} x\sin\phi + \sin\theta - \sin(\theta+\phi) = 0 \\ -y\sin\phi + \cos\theta - \cos(\theta+\phi) = 0 \end{array} \cdots (1) \right. \end{array}\]

から

    \[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin\phi} \begin{pmatrix} \sin(\theta+\phi) - \sin\theta \\ \cos\theta - \cos(\theta+\phi) \end{pmatrix} \cdots (2)\]

が同相を与えてる. 普通に計算して

    \[\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} av-bu=\cos\theta\sin(\theta+\phi)-\sin\theta\cos(\theta+\phi)=\sin\phi \\ v-b=\sin(\theta+\phi)-\sin(\theta) \\ a-u=\cos\theta - \cos(\theta+\phi) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 1+au+bv=1+\cos\phi \\ a+u=\cos\theta+\cos(\theta+\phi) \\ b+v=\sin\theta + \sin(\theta+\phi) \end{array} \end{array}\]

からＣの座標がいずれも(2)と一致するのが確かめられるし, Ｃの異なる座標の間の座標変換が同相で与えられる. すなわちＣの異なる表示は座標近傍の取り方の違いによるものである■

微分方程式論と測度論が絶望的に弱いことが分かったからまぁ良かったか.

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