カフェインの取りすぎに注意

(濃い目の)コーヒーを一日3杯飲んだら、熱くないのに汗をかき、異様な脱力状態に陥ったという・・・

以下ほにゃらら検定で時間が足りなかった問題.

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R^2上の原点を中心とする単位円周上に異なる2点A,Bを線分ABがOを通らないよう定める.
2点A,Bにおける接線の交点Cの座標をAとBの座標A(a,b), B(u,v)を用いて表すと,

異なる表示:

    \[\begin{array}{l} C_1(\frac{v-b}{av-bu},\frac{a-u}{av-bu}) \\ C_2(\frac{a+u}{1+au+bv},\frac{b+v}{1+au+bv}) \end{array}\]

を得た. これらは正しいか?
正しいならCの見かけ上の表示が異なっても良い理由を, 正しくないならその理由を説明せよ.

説明:

Aは単位円周上を動くから, x軸からのAの極座標における偏角をθと書くとき

A(a,b)=A(\theta)=(\cos\theta,\sin\theta)\ (\theta\in [0,2\pi))

と書ける. また, BをAから正の向きに角φ回転させた点と見れば,

    \[\begin{array}{lcl} B(u,v) &=& \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \\ \end{pmatrix}A(\theta) \\ &=& (\cos(\theta+\phi),\sin(\theta+\phi)) = B(\theta,\phi) \ \phi\in(0,\pi) \end{array}\]

と書ける. 点C(x,y)に関する条件から,

    \[\begin{array}{lcl} && \vec{AC}\perp A(\theta),\ \vec{BC}\perp B \\ &\therefore & (C-A(\theta))\cdot A(\theta) = (C-B(\theta,\phi))\cdot B(\theta,\phi) = 0 \\ &\therefore & A(\theta)^2=1=C\cdot A(\theta)=C\cdot B(\theta,\phi) \\ &\therefore & \left\{ \begin{array}{l} x\cos\theta + y\sin\theta - 1 = 0 \\ x\cos(\theta+\phi) + y\sin(\theta+\phi) - 1 =0 \end{array} \cdots (1) \right. \end{array}\]

(1)の左辺を4変数写像hと見做して空間Mを

M=\{(x,y,\theta\phi)\in R^2\backslash D^2\times [0,2\pi]\times (0,\pi)=U | h=0 \}

と定義する.

hは明らかにC^\infty級で, Uの接ベクトル空間からh(U)の接ベクトル空間への線型写像として

    \[(dh)_{p\in M}=\begin{pmatrix} \cos\theta & \sin\theta & -x\sin\theta+y\cos\theta & 0 \\  \cos(\theta+\phi) & \sin(\theta+\phi) & * & * \end{pmatrix}\]

\cos\theta\sin(\theta+\phi)-\sin\theta\cos(\theta+\phi)=0 \Leftrightarrow \phi\equiv 0 \mod \piにより全射(特に臨界点が無いからsubmersionである).

つまり{\rm rank}(dh)_{p\in M}=2であり, Mは2次元多様体.
このことからC(x, y)はM上(θ,φ)について解ける.

実際h=0を解いて

    \[\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} x\sin\phi + \sin\theta - \sin(\theta+\phi) = 0 \\ -y\sin\phi + \cos\theta - \cos(\theta+\phi) = 0 \end{array} \cdots (1) \right. \end{array}\]

から

    \[\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \frac{1}{\sin\phi} \begin{pmatrix} \sin(\theta+\phi) - \sin\theta \\ \cos\theta - \cos(\theta+\phi) \end{pmatrix} \cdots (2)\]

が同相を与えてる. 普通に計算して

    \[\begin{array}{lcl} \left\{ \begin{array}{l} av-bu=\cos\theta\sin(\theta+\phi)-\sin\theta\cos(\theta+\phi)=\sin\phi \\ v-b=\sin(\theta+\phi)-\sin(\theta) \\ a-u=\cos\theta - \cos(\theta+\phi) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} 1+au+bv=1+\cos\phi \\ a+u=\cos\theta+\cos(\theta+\phi) \\ b+v=\sin\theta + \sin(\theta+\phi) \end{array} \end{array}\]

からCの座標がいずれも(2)と一致するのが確かめられるし, Cの異なる座標の間の座標変換が同相で与えられる. すなわちCの異なる表示は座標近傍の取り方の違いによるものである■

微分方程式論と測度論が絶望的に弱いことが分かったからまぁ良かったか.

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