対数

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昨晩は微妙な考察をしてたら夜が明けてしまいました(なぜ微妙かというと, 本筋からそれてしまったため)。
前半はそういう主旨です。

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f(z)=Log(Log(z))を考える.

2階までの導関数をとると,
f'(z)=\displaystyle{\frac{1}{zLog(z)}}
f''(z)=\displaystyle{-\frac{1}{zLog(z)}-\frac{1}{(zLog(z))^2}}

よってf''(z)=-f'-f'^2.
それにn階の導関数がf'のn次多項式で表せることを踏まえて, 5階までの導関数をf'で表したとき, 係数行列Pは次のようになります.

P=\begin{pmatrix} & & & & 1 \\ & & & -1 & -1 \\ & & 2 & 3 & 1 \\ & -6 & -12 & -7 & -1 \\ 24 & 60 & 50 & 15 & 1 \end{pmatrix}

n階導関数におけるk次の項の係数をc(n,k)と書くことにすれば, n階導関数は次のように書けることが分かります.

f^{(n)}(z) = \displaystyle{\sum_{k=1}^{n}c(n,k)f'^k}

fはD=\mathbb{C}-\{z\in \mathbb{C} | \Re{(z)}\leq 0 \}上正則で, 0において展開すると,

f(z)=\displaystyle{\frac{1}{2\pi i} \sum^{\infty}_{n=-\infty} \int_C{ \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta }z^n }\quad (C:z(t)=re^{it}; r>0; t\in[0,2\pi])となる.

一方z(t)=re^{it}に対し, \displaystyle{ \frac{f(\zeta)}{\zeta^{n+1}} = \frac{Log(r)+it}{r^{n+1}e^{(n+1)it}} }

ここで\displaystyle{\frac{Log(r)}{r^{n+1}}} = \Bigg\{\begin{array}{ll} \displaystyle{ \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}}{m} (r-1)^{m-n-1} } \quad (0\leq |r-1|\leq 1) \\ \displaystyle{ \sum^{\infty}_{m=1} \frac{(-1)^{m-1}}{m} (r-1)^{-(m+n+1)} } \quad (1<|r-1|) \end{array}

ちなみにこの係数関数c(n,k)の要請は次の4つ.

<ci>\quad c(n,1)=(-1)^{n-1}
<cii-civ>\quad c(n,k) = \Bigg\{\begin{array}{ll} 0 & (n<k)\\ (-1)^{n-1}(n-1)!=c(n,1)(n-1)! & (n=k) \\ (-1)^{n-1}\Big(k|c(n-1,k)|+(k-1)|c(n-1,k-1)|\Big) & (n>k, k\neq 1) \end{array}

このようなc(n,k)を見つけることができれば, 恐らくfの特異点z=0周りでの挙動をコーシーの積分表示式を用いずに見れる. これを見る限りガンマ関数に関係してそうですが..

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さて、話は変わって先日内法(うちのり)という言葉を知りました。
これは内側から測った底面積のことで、立方体上は単なる底面積のことらしい。
驚くべきことは、それが載っていたのは小学生の教材中だということ。