基底(位相空間) – 解析タネル

開基と位相空間の基底って別物と扱ってたんですが, まったく同じものですね. 確かめてみるまで分かりませんでした.

位相空間論の本としては松坂和夫氏の「集合・位相入門」を持ってますが, ~~こちら少し記述が古いのかもしれません. 下に挙げる二つ目の定義には触れていません~~(訂正: 書いてありました). そこでの（位相空間の）基底の定義は次のようになっています.

位相空間 $(X,\mathfrak{O})$ が与えられたとき, $\mathfrak{O}$ の部分集合系 $\mathfrak{B}$ が $(X,\mathfrak{O})$ の(開)基底であるとは, 任意の開集合 $O\in \mathfrak{O}$ について, $O=\bigcup_\lambda B_\lambda$ を満たすように開部分集合族 $\{B_\lambda\}_\lambda\in \mathfrak{B}$ がとれることである(添字λが使われているが, 可算である必要はない).

一方「開基」とは, 上と同じ記号のもと次の条件を満たす開集合系 $\mathfrak{B}$ です.

B1. $X=\displaystyle{\bigcup_\lambda B_\lambda,\ B_\lambda\in \mathfrak{B}}$
B2. $\forall B_1,\ B_2\in \mathfrak{B},\ \forall x\in B_1\cap B_2;\ \exists U\in \mathfrak{B},\ x\in U\subset B_1\cap B_2$

以下前者と後者の $\mathfrak{B}$ をそれぞれ $\mathfrak{B}_1,\ \mathfrak{B}_2$ とし, 性質を比較して $\mathfrak{B}_1=\mathfrak{B}_2$ を示します.

(i) $\mathfrak{B}_1\subset \mathfrak{B}_2$
Xの全ての開集合が $\mathfrak{B}_1$ の元の和で表され, (位相空間定義から)X自身は開かつ閉な集合だから, $\mathfrak{B}_1$ は性質B1を持つ. また $B_1,\ B_2\in \mathfrak{B}_1$ は開集合であるから $B_1\cap B_2=\bigcup B_\lambda$ となるような $\mathfrak{B}$ の元の族をとれる. それらのうちの任意の一つ $B_\lambda$ が $B_\lambda\subset B_1\cap B_2$ を満たすのは明らかであるから, 性質B2も満たす. $\mathfrak{B}_1$ は開集合系であるから, $\mathfrak{B}_2$ を含む.

(ii) $\mathfrak{B}_1\supset \mathfrak{B}_2$
開集合 $O\in\mathfrak{O}$ の任意の点xに対し, $x\in B_x\in \mathfrak{B}$ で $B_x\subset O$ を満たす開集合 $B_x$ をとる(このような $B_x$ は必ず存在する. 例え $O\subset B_x$ であっても $O\cap B_x=O$ に含まれる開集合を $B_x$ と置けば良い). xを含み, Oに含まれる $\mathfrak{B}$ の元全体 $B(x)$ というのはxの基本近傍系をなすが, $\mathfrak{B}$ の族として強調して $B(x)$ を $B(x)=\{B_{\lambda(x)}\}$ と記せば, $O=\bigcup_{x\in O}B(x)=\bigcup B_\lambda$ となる. これは最初の開基の定義を満たす.

訂正ついでに閉基についても追記しておきます.

閉集合系の部分集合系 $\mathfrak{F}\subset \mathfrak{U}$ が位相空間Xの閉基底であるとは, 任意の閉集合が $\mathfrak{F}$ の共通部分で書けることとは同値. つまり次と同値.

$\forall A\in \mathfrak{U},\ \exists \{F_\lambda\}_\lambda\subset \mathfrak{F},\ A=\bigcap_\lambda F_\lambda$

あるいは同値な次の条件 $F_1,\ F_2$ を満たすことを言う.

F1. $\emptyset=\displaystyle{\bigcap_\lambda F_\lambda,\ F_\lambda\in \mathfrak{F}}$
F2. $\forall F_1,\ F_2\in \mathfrak{F},\ \forall x\notin F_1\cup F_2;\ \exists G\in \mathfrak{F},\ x\notin G\supset F_1\cup F_2$

これも上と同じように, こうして別々に定義された閉部分集合族をそれぞれ $\mathfrak{F},\ \mathfrak{F}'$ と定義して, 同じ集合族であることを示してみよう.

(i) $\mathfrak{F}\subset \mathfrak{F}'$
条件F2の仮定を満たす $F_1,\ F_2\in \mathfrak{F}$ と $x\notin F_1\cup F_2$ をとっておく. $F_j$ は閉集合だから, $\mathfrak{F}$ のある部分集合族の共通部に書ける. $F_i = \bigcap_j F_{ij}\ (F_{ij}\in \mathfrak{F}\ (\forall j))$ とすれば,

$F_1\cup F_2 = \bigcap_{j,k} (F_{1j}\cup F_{2k})=\bigcap_l G_l\ (G_l\in \mathfrak{F})$

最後の等式は, $F_{1j}\cup F_{2k}$ が閉集合だから更に $\mathfrak{F}$ の部分集合族の共通部で書くことで得られる. mを十分大きくとれば, $x\notin G_m$ となる. $G_m\supset F_{1j}\cup F_{2k}\supset F_1\cup F_2$ は明らかである. よって条件F2を満たす. F1を満たすのは明らか.

(ii) $\mathfrak{F}\supset \mathfrak{F}'$

前から何となく気になってたのですっきりしました.

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