logによる展開?

今日は仕事が長引き特に問題を解いたりする気力もないので, 前にFourier展開で少し言及した対数関数による展開ができるための条件について少し考えてみました.

目標は次のような言明.

複素領域Ωにおける有理型fが与えられたとき, fは次の表示を持つ.

    \[f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n \log(z)^n \ (a_n\in \mathbb{C})\]

Ωが0を含まない適当な領域として, Ωのlogによる像であるΓ平面を考えれば, 写像

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からΩとして0を除いた扇形の開領域を取っておくと都合が良いことが分かる.

Γ平面上でのζとζ+2kπi(kは整数)はΩ平面上では同一視されるが, Γ平面のとり方から帯に含まれるkは唯一つだけなので, この差は考える必要がない.

そこでf(z)=F(\zeta)=(F\circ \log)(z)となるFが一意的に定まり, 明らかに

    \[F(\zeta) = (f\circ exp)(\zeta)\ (\forall \zeta\in\Gamma)\]

が成り立つ. FのΓ平面での解析性から前と同様に

    \[F(\zeta)=\sum_{n=0} a_n \zeta^n,\ a_n=\frac{1}{2\pi i}\int_C \frac{F(\zeta)}{\zeta^{n+1}}d\zeta\]

変数変換\zeta\mapsto \log(z)f(z)=F(\zeta)から,

    \[a_n = \frac{1}{2\pi i}\int_D \frac{f(z)}{z\log(z)^{n+1}}dz\]

※上でΓは0を含み, a<0<bを満たす帯とし, CはΓ平面における原点を中心とした円(半径は勿論Γに含まれるよう十分小さくとる). またDはそれに対応したΩ内の1の周りの閉曲線としている. 実際にはこの場合, 1を中心としたm={\rm min}(\frac{|\sin{2a}|}{2}, \frac{|\sin{2b}|}{2})より小さい半径を持つ円であれば良い. 下図参照.

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もっとも簡単な関数f(z)=zですら, この展開において複雑な式

    \[z = \sum_{n=0}^\infty \log(z)^n\cdot \frac{1}{2\pi i}\int_D \log(z)^{-(n+1)}dz\]

を導出する. 仮定から0\notin\Omegaだが, 0に近いところまで解析接続できれば右辺が0に近づくように取れるということである(勿論表示は変わるが, 感覚的には信じがたい). もう少し詳しいことを言いたいが, それはまた折を見て調べてみることにする.

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