今日は仕事が長引き特に問題を解いたりする気力もないので, 前にFourier展開で少し言及した対数関数による展開ができるための条件について少し考えてみました.
目標は次のような言明.
複素領域Ωにおける有理型fが与えられたとき, fは次の表示を持つ.
![\[f(z)=\sum_{-\infty}^\infty a_n \log(z)^n \ (a_n\in \mathbb{C})\]](https://blog.icefog.work/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-a8fe3a0a80b10321697ac1d6768d87c0_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
Ωが0を含まない適当な領域として, Ωのlogによる像であるΓ平面を考えれば, 写像
\begin{tikzcd}
\Omega = \big\{z\in\mathbb{C}\backslash \{0\} : a<arg(z)<b\leq a+2\pi \big\}\arrow{r}{\log} & \{\zeta\in\mathbb{C} : a<\mathfrak{Im}(\zeta)
もっとも簡単な関数f(z)=zですら, この展開において複雑な式
![\[z = \sum_{n=0}^\infty \log(z)^n\cdot \frac{1}{2\pi i}\int_D \log(z)^{-(n+1)}dz\]](https://blog.icefog.work/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-fea50a3e2dbac076e9dad4bc53fd8c79_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
を導出する. 仮定から
だが, 0に近いところまで解析接続できれば右辺が0に近づくように取れるということである(勿論表示は変わるが, 感覚的には信じがたい). もう少し詳しいことを言いたいが, それはまた折を見て調べてみることにする.