無限級数和の解法 §1: 準備

数列の部分和 $s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_n$ の極限, 無限級数和の収束判定法は幾つか知られているものの, その和を求めるのは容易ではないのです。ここに自分用ノートとして重要なアプローチを解説します.

§1. 準備

まずよく知られている次の4つの級数展開をよく知っておくこと.

${\rm exp}(x)=1+x+x^2/2+x^3/6+\cdots+\frac{x^n}{n!}+\cdots \quad (\forall x\in \mathbb{C})$

${\rm sin}x=x-x^3/6+x^5/120-\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}+\cdots \quad (\forall x\in \mathbb{C})$
${\rm Log}(x+1)=x-x^2/2+x^3/3-\cdots + \frac{(-1)^{n-1}}{n}x^{n}+\cdots\quad (|x|\leq 1)$
${\rm Arctan}x=x-x^3/3+x^5/5-\cdots + \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}+\cdots \quad (|x|\leq 1)$

次に, これら4つの展開から他の初等関数の級数展開の導き方を知っておく.
例えば上記 ${\rm sin}x$ を(項別)微分して ${\rm cos}x$ の展開を得る.
${\rm cos}x=1-x^2/2+x^4/24-\cdots + \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$

双曲線関数 ${\rm sinh}, {\rm cosh}$ も, 対応する三角関数 ${\rm sin}, {\rm cos}$ の展開式における(-1)^nの項を除いたものと考えれば覚えやすいだろう.

そして一般二項定理の適用例としても, 逆三角関数の級数形の良い特徴としても次の例は重要だと思う.

$\displaystyle{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}} = (1-x^2)^{-1/2} = \sum\limits_{k=0} \binom{-1/2}{k}(-1)^kx^{2k} \\ = \sum\limits_{k=0} \frac{-\frac{1}{2}(-\frac{1}{2}-1)\cdots (-\frac{1}{2}-k+1)}{k!}(-1)^kx^{2k} \\ = \sum\limits_{k=0} \frac{(2k-1)!!}{(2k)!!} x^{2k} \quad ((-1)!!=0!!=1)$

また, 求めたい級数の和が似通った既知関数に帰着できればいいが, 現実問題できない(もしくは思いつかない)ことがほとんどなので, 微分方程式と合わせて組み合わせ論的なアプローチも考えなくてはいけない. そこでまずは応用の広い多項定理を見ておこう.

$\displaystyle{ ({\rm div}{\bf x})^n = \sum_{{\bf p},{\bf x}\in \mathbb{N}^u; {\rm div}{\bf p}=n} \binom{n}{\bf p}{\bf x}^{\bf p} = \sum_{{\rm div}{\bf p}=n} \frac{n!}{p_1!p_2!\cdots p_u!}x_1^{p_1}x_2^{p_2}\cdots x_u^{p_u} }$

具体的に無限級数和に応用するために, 次のような例を考えよう.

$y=\displaystyle{\sum_{k=0}^\infty a_kx^k}=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots +a_nx^n+\cdots$

に対し, $y^m$ における $x^n$ の係数 $r(m,n)$ を見るのである.
この場合無限級数なので変数の数は無限( $u=\infty$ )だが, $x^n$ の係数を見るのに $x^{n+1}$ 以上の次数を持つ項は無用である. つまり上の定義における $u$ 次元ベクトル ${\bf p}$ は実際には $n+1$ 次元ベクトルになる( $a_0$ も考える)ので, $u=m, {\rm div}{\bf p}=m, x_k=a_k\quad (0\leq k\leq n)$ とおけば,

$\qquad \displaystyle{ r(m,n)= \sum_{{\rm div}{\bf p}=m} \frac{m!}{p_0!p_1!\cdots p_n!} a_0^{p_0}a_1^{p_1}a_2^{p_2}\cdots a_n^{p_n} }$

を得る.

$\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline (m,n) & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ \hline 1 & $a_0 $ & $a_1 $ & $a_2 $ & $a_3 $ \\ \hline 2 & $a_0^2 $ & $2a_0a_1 $ & $2a_0a_2+a_1^2 $ & $2a_0a_3+2a_1a_2 $ \\ \hline 3 & $a_0^3 $ & 3$a_0^2 a_1 $ & $3a_0^2a_2 + 3a_0a_1^2 $ & $3a_0^2a_3 + 6a_0a_1a_2+a_1^3 $ \\ \hline \end{tabular}$

このような具合なので, yの斉次方程式 $\psi(y)=p_ny^n+p_{n-1}y^{n-1}+\cdots +p_0$ におけるk次係数は $\displaystyle{\sum_{i=0}^n p_ir(i,k)}$ で与えられることが直ちに示される.

応用上も審美上も、線型微分方程式との兼ね合いで比較的容易に(解析)関数が決定されることがあるようなので, 具体的な計算に慣れておくことに越したことはないと思う.